Андрей родился в Москве 7 февраля 1996 года. В шесть лет поступил в детскую футбольную школу «Тимирязевец», где занимался под руководством Юрия Ивановича Артёмова. В большой футбол на серьёзном уровне Новикову заиграть не удалось, зато первые же тренировки на песке раскрыли у него талант к пляжному футболу. В 2013 году прошёл отбор в молодёжную команду московского «Динамо», а уже через год впервые сыграл за главную команду бело-голубых в официальном турнире. В 2015 году Андрей в возрасте 19 лет дебютировал в Суперлиге за «Динамо». В следующем сезоне он стал игроком «Спартака», вместе с которым завоевал бронзу чемпионата России в 2018 году. Любимым футболистом Новикова является голландец Вирджил Ван Дейк, а в пляжном футболе он считает лучшим голкипера Павла Баженова.
В 2017 году Новиков выступил за сборную России среди игроков не старше 23 лет на международном турнире Inter Cup в Санкт-Петербурге. В 2018-м он вновь был вызван в сборную России U-23, причём уже в роли капитана. В первом же матче Новиков получил тяжёлую травму и пропустил остаток турнира, что не помешало ему стать серебряным призёром соревнований. На этапе Евролиги-2018 в Варнемюнде Андрей впервые сыграл за основную сборную России, а затем выступил и на Межконтинентальном кубке, где завоевал серебро.